4.6 4.8 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 87 88 ρωτήσεις Κατανόησης. Να υπλγίσετε την γωνία ω στ παρακάτω σχήµα πάντηση ω ίναι φ =8 = 6 άρα ω = 5 + 6 = 5 φ. ν = και x διχτόµς της γωνίας πάντηση ω φ ω 55 x ίναι, να υπλγίσετε την γωνία φ = άρα ω =7, πότε φ = 8 ω = 8 4 = 4 3. Υπάρχει κυρτό ν γων ώστε τ άθρισµα των εσωτερικών γωνιών τυ να ισύται µε τ άθρισµα των εξωτερικών γωνιών τυ ; πάντηση Ναι τ τετράπλευρ 4. Να εξηγήσετε γιατί αν ένα ισσκελές τρίγων έχει µία γωνία τυ 6 θα είναι ισόπλευρ Έστω ω = 6 τότε φ =8 ω =8 = 6 φ φύ τ τρίγων έχει τις γωνίες τυ ίσες θα είναι ισόπλευρ Έστω φ = 6 τότε ω ω ω = 8 φ = Άρα ω= 6, πότε πάλι τ τρίγων θα έχει τις γωνίες ίσες, πότε θα είναι ισόπλευρ.
5. Τ άθρισµα των εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνυ είναι.8. 7. 36. 54. τίπτα από αυτά πιλέξτε την σωστή απάντηση και αιτιλγήστε την απάντηση σας. πάντηση Σωστή απάντηση είναι η, διότι τ άθρισµα των εξωτερικών γωνιών πιυδήπτε ν γώνυ ισύται µε 36. σκήσεις µπέδωσης. Σε ρθγώνι τρίγων µια γωνία τυ είναι ίση µε τα 3 µιας άλλης γωνίας τυ. Να υπλγισθύν όλες ι γωνίες τυ (δύ περιπτώσεις). Έστω τ τρίγων µε = 9 Όταν B = 3 Οµίως όταν = 3 Όταν B = 3, τότε B = 3 9 = 6 και = 9 B = 9 6 = 3, τότε B = 3 ( 9 B ) 3 B = ( 9 B ) 3 B = 8 B 5 B = 8 B = 36 και = 9 B = 9 36 = 54
3. Σε ισσκελές τρίγων ( = ) είναι =. ν Ι τ έκκεντρ τυ τριγώνυ, να υπλγισθεί η γωνία Ι. πό εφαρµγή τυ σχ. ιβλίυ έχυµε = B = () τρ. ισσκελές B = (3) + B + = 8 (),(3) () Ι = 9 + 8 = 8 Ι = 9 + + + = 8 () 5 = 8 = 36 3. Σε τρίγων η γωνία είναι τριπλάσια της γωνίας B. ν εξ = 44 να βρεθεί τ είδς τυ τριγώνυ ως πρς τις πλευρές τυ. εξ = + B 44 = 3 B + B 44 = 4 B B = 36 = 8 εξ = 8 44 = 36 Άρα B = τρ. ισσκελές µε = 4. ίνεται ρθγώνι τρίγων ( = 9 ) και τ ύψς τυ. Να απδείξετε ότι B = και =. Οξείες γωνίες µε κάθετες πλευρές.
4 5. Στ παρακάτω σχήµα είναι = = και x = 8. Να υπλγισθεί η γωνία. φ 8 Στ τρίγων έχυµε λλά Â + + 8 = 8 φ + 8 4φ + 8 = 8 3φ = 8 φ = 36 = Â =ϕ εξωτερική τυ τριγώνυ = ϕ + Â = ϕ + ϕ = ϕ = = = ϕ 8 + += + ϕ+ ϕ= 8 8 4 = ϕ 6. Στ παρακάτω σχήµα είναι ωφ 9 =, διχτόµς,. ν η γωνία είναι µεγαλύτερη από τη, να υπλγίσετε τις γωνίες ω και φ. Υπόθεση: λλά φ = = 55 και ω = = = 45 = + + = 9 + + = 9 = 7 =35 και = 55 7. Τ άθρισµα των γωνιών κυρτύ πλυγώνυ είναι 9. Να βρεθεί τ πλήθς των πλευρών τυ. Έστω ν τ πλήθς των πλευρών. ( ν 4) 9 = 9 ν 4 = ν = 4 ν = 7
5 πδεικτικές σκήσεις. Σε τρίγων είναι = 9 +. Να απδείξετε ότι = εξ = 9 + + = 9 + εξ + = 8 + = 8 8 = 8 = =. ίνεται τρίγων µε > και η διχτόµς τυ. Να απδείξετε ότι i) = ii) = 9, = 9 + i) Â διχτόµς Â = Â = εξωτερική τυ τριγώνυ Â = + εξωτερική τυ τριγώνυ = + Â () () = () () ii) H () = + Οµίως για τη 9 = 9 + = 9
6 3. Σε τρίγων µε > φέρυµε τ ύψς και τη διχτόµ. Να απδείξετε ότι =. = - E αλλά = Â λόγω της διχτόµυ και = 9 από τ ρθ. τρίγων Άρα Â = ( 9 ) Â = 9 + = = Â + = 4. ν ι διχτόµι των γωνιών, κυρτύ τετραπλεύρυ τέµννται σε σηµεί, να απδείξετε ότι + = πό τ τρίγων έχυµε = 8 = 8 Â 36 = πειδή τ άθρισµα των γωνιών τετραπλεύρυ είναι 36, θα έχυµε +++ = = +
7 5. πό τυχαί σηµεί της βάσης ισσκελύς τριγώνυ φέρυµε τη. Να απδείξετε ότι = ++= 8 + = 8 () τρ. : = 9 () + ( 9 ) = 8 + 8 = 8 = 6. Σε ρθγώνι τρίγων ( Â = 9 ) τ ύψς τυ και η διχτόµς τυ Ζ τέµννται σε σηµεί. Να απδείξετε ότι τ τρίγων Ζ είναι ισσκελές. Ζ Τρ. ρθγώνι: Ê = Ê = 9 B = 9 B Τρ. Ζ ρθγώνι: Ẑ = 9 B = 9 B πό τις () και () έχυµε Ê = Ẑ τρ. Ζ ισσκελές. () () 7. ίνεται ρθγώνι τρίγων ( Â = 9 ). Η διχτόµς της γωνίας B τέµνει την στ Ζ και την κάθετη στη στ σηµεί, στ Η. Να απδείξετε ότι Ζ = Η. Ζ Η Τρ. Η ρθγώνι: Ĥ = 9 B = 9 B Τρ. Ζ ρθγώνι: Ẑ = Ẑ = 9 B = 9 B πό τις () και () έχυµε Ĥ = Ẑ τρ. ΗΖ ισσκελές. () ()
8 Σύνθετα Θέµατα. ίνεται ισσκελές τρίγων ( = ) και τυχαί σηµεί της πλευράς. Στην πρέκταση της, πρς τ, παίρνυµε τµήµα =. Να απδείξετε ότι. ρκεί να απδείξυµε ότι += 9 Ζ = = λλά = + σαν εξωτερική τυ τρ. Άρα = = = () = =. λλά + + = 8 Άρα + = 8 = 8 = 9 () () + () += 9. ίνεται τρίγων µε > και η διχτόµς τυ. πό την κρυφή φέρυµε ευθεία κάθετη στην, πυ τέµνει την στ. Να απδείξετε ότι = Ζ Τρ. Ζ ρθγώνι B = 9 λλά = + = + σαν εξωτερική τυ τριγώνυ Άρα B = 9 ( + ) = = + + = = =
9 3. Σε ρθγώνι τρίγων πρεκτείνυµε την υπτείνυσα κατά τµήµα =. Φέρυµε κάθετη στη στ σηµεί και παίρνυµε σε αυτή πρς τ µέρς τυ τµήµα =. Να απδείξετε ότι τα σηµεία,, είναι συνευθειακά. Φέρυµε τα τµήµατα,. ρκεί να απδείξυµε ότι + + = 8 ή αρκεί + = 9 αφύ = 9 B εξωτερική τυ ισσκελύς τριγώνυ B = = Στ ισσκελές τρίγων έχυµε = και + + = 8 = 8 = 9 () ίναι = B σαν ξείες µε πλευρές κάθετες () = 9 (3) () + (3) + = 9 ()
4. ίνεται ισσκελές τρίγων ( = ) και τ ύψς τυ. Φέρυµε Η, πυ τέµνει την πρέκταση της στ. Να απδείξετε ότι i) B = ii) > Η i) ρκεί να απδείξυµε ότι = Ορθ. τρίγων : = 9 Ορθ. τρίγων Η : = 9 Ισσκελές : = Άρα = ii) Τα τρίγωνα και έχυν δύ πλευρές ίσες. ια να είναι >, αρκεί να απδείξυµε ότι >. πειδή, όµως, = 9, αρκεί να απδείξυµε ότι η είναι ξεία. Ισσκελές τρίγων ξεία, άρα αµβλεία. Έτσι, στ τρίγων η είναι ξεία.
5. Σε τρίγων, πρεκτείνυµε τα ύψη τυ και πρς τ µέρς των κρυφών και επί των πρεκτάσεων παίρνυµε τµήµατα Ζ = και Η = αντίστιχα. Να απδείξετε ότι i) AZ = AH ii) AZ AH Η i) Συγκρίνυµε τα τρίγωνα Ζ, Η. Έχυν = Η και Ζ = ια να είναι ίσα, αρκεί να Ζ απδείξυµε ότι Ζ=Η, ή αρκεί = αφύ είναι παραπληρωµατικές τυς. υτό ισχύει διότι, από τα ρθ. τρίγωνα και, ι γωνίες και είναι συµπληρωµατικές της γωνίας τυ τριγώνυ. ii) τρ.ζ = τρ.η = Η Στ ρθ. τρίγων Η, η Η είναι συµπληρωµατική της Η, άρα και η. 6. Θεωρύµε τετράπλευρ µε > και νµάζυµε φ την ξεία γωνία των διχτόµων των γωνιών και. Να απδείξετε ότι φ = Στ τρίγων Ζ είναι φ = 8 Ζ Ζ = + φ σαν εξωτ. τυ τριγώνυ Ζ Άρα φ = 8 ( Ζ + ) +++ φ = +++ φ = =
7. ύ επίπεδα κάτπτρα Κ, Κ είναι κάθετα. Φωτεινή ακτίνα α πρσπίπτει αρχικά στ Κ και µετά την ανάκλαση στ Κ, εξέρχεται κατά την ακτίνα β. Τι πρεία θα ακλυθήσει, σε σχέση µε την αρχική ακτίνα α; Κ ω x ω α y φ φ β Κ Θα απδείξυµε ότι α β. Πρς τύτ, αρκεί να απδείξυµε ότι x + y = 8. ίναι ω + x + ω = 8 () και φ + y + φ = 8 () () + () ω + φ + x + y =36 x + y =36 (ω + φ) λλά ω + φ = 9 αφύ Κ Κ Άρα x + y =36 9 x + y = 8